Вариационные задачи с разрывным интегрантом
Стремясь иметь для примера негладкий интегрант, Кларк модифицировал [3, с.178] задачу Дидоны следующим образом. Он полагает, что для некоторого a >0 земля в области x>a худшего качества и доход с нее составляет только половину дохода с земли в области x<a .
Рис.2. Участок Дидоны с канавой
Доход Д с огороженного участка, ограниченного кривой x(t), равен
(П.1)
где gn[x(t)] = {x(t), если
; (x+a )/2, если 
} .Следует максимизировать значение дохода Д (интеграла (П.1)) при наличии ограничений
(П.2)
. (П.3)
Далее Кларк использует методы негладкого анализа для решения модифицированной задачи Дидоны. Применение этих методов ограничивается негладкими интегрантами и абсолютно непрерывными экстремалями.
Для частичной иллюстрации возможностей предложенного нами метода решения задач с разрывным интегрантом будем полагать, что участок Дидоны параллельно береговой линии пересекает канава шириной b -a . Один берег канавы проходит по линии x(t)=a ., а другой - по линии x(t)=b . Участок канавы, ограниченный берегами и веревкой (рис.2), никакого дохода не приносит, и интегрант выглядит так:
(П.4)
Веревка ограничивает канаву, пересекая ее, но разорвать веревку Дидона не может, поэтому изопериметрическое условие (П.3) остается в силе. Требуется максимизировать доход с участка, расположенного по берегам канавы, ограниченного береговой линией и веревкой.
Представим g[x(t)] с помощью единичной функции включения (1.2) в виде
В уравнение Эйлера простейшей вариационной задачи (2.6) входят производные интегранта по x и по
. Вычислим эту производную
Производя сокращения и учитывая свойства d -функции [7], находим
или
(П.5)
С учетом изопериметрического условия (П.3), получим дифференциальное уравнение для экстремали
(П.6)
где l - неопределенный пока множитель Лагранжа [7].
Уравнение (П.6) при 
и ограничениях (П.2) имеет интегралом окружность
(П.7)
где C = ¦ (l 2 /a2-1)1/2, симметрично расположенную относительно оси Оx (рис.2). Выразим длину веревки Дидоны через параметры задачи a , b , g и неизвестный коэффициент l .
В горизонтальной полосе 0<x<a 
и центр соответствующей окружности располагается ниже оси Оt (иначе интегральные дуги 
окажутся вне вертикальной полосы -1<t<1), откуда для длины 
дуги получим
(П.8)
При x>b и 
при отыскании максимума функционала (П.1) в случае g >1 (или g <1) центр окружности, содержащей интегральную дугу
, будет расположен выше (или ниже) оси Оt. Для длины дуги получим
(П.9)
В полосе a <x<b 
и интегральная линия имеет вид отрезков прямой
, соединяющей концы дуг 
и 
с концами дуги. При разных значениях параметра g может быть разная ориентировка этих отрезков. В частности, они могут быть параллельны оси Оy (
)или наклонены. Длина отрезка 
определяется выражением
или
Немного больше о технологиях >>>
Обобщенный принцип наименьшего действия
Введены
континуально многозначные функции, позволяющие адекватно описывать физические
задачи. Показано их отличие от разрывных функций. Сформулирована и решена
вариационная задача для функционалов с разрывным интегрантом, зависящих от
линейных интегральных операторов, действующ ...
Может ли энергия быть отрицательной
подробно не рассматривался. Считалось, что
он слишком сложен для учеников средней школы. В то же время «по умолчанию»
ученики (да нередко и учителя) полагают, что энергия может быть только
положительной величиной. Это приводит к недоразумениям при анализе
преобразования энергии ...
