Вариационная задача поиска оптимального оператора
Кроме приведенной в разделе 2 постановки вариационной задачи, сформулируем задачу поиска ядра оптимального оператора F i , действующего на заданные функции Si, и доставляющего экстремум функционалу с разрывным интегрантом F. Такие задачи могут, например встречаться при нахождении распределения плотности заряда в частице.
Пусть существует функционал I с разрывным интегрантом F
(3.1)
В случае конечных пределов интегрирования в (3.1) функционал I всегда можно выразить через интеграл с бесконечными пределами с помощью функции (1.2) включения H(x). В формуле (3.1) символами F i(x) обозначены линейные интегральные операторы
(3.2)
с искомым ядром K(x,t), действующим на заданные функции
,
.
Частные решение
Установим интересное свойство множества экстремалей. Для этого представим ядро в виде произведения
(3.3)
где
, - выбранная из некоторого множества произвольная функция, на которую умножаются входные процессы Si (t);
, - разностное ядро, которое требуется найти из условия экстремума функционала I. Подставив (3.3) в (3.2), получим
(3.4)
Используем свойство свертки и приведем оператор (3.4) к виду
(3.5)
Частная оптимизационная задача для функционала (3.1), зависящего от линейного интегрального оператора с ядром (3.3), свелась к задаче для функционала (3.1), зависящего от интегральных операторов (3.5) с разностными ядрами Ki (x,t)=Si (x-t)r (x-t). Решение этой задачи получено в разделе 2. Частным необходимым условием экстремума функционала I на основе раздела 2 является уравнение
(3.6)
Поскольку функции Si (x-t) заданы из условий задачи, а функция r (x-t) выбирается произвольно, то каждой из выбранных r (x-t) соответствует оптимальная h(t), т.е. даже при представлении ядра K(x,t) в виде произведения (3.3) единственного решения сформулированной задачи не существует.
Никаких ограничений на непрерывность ядер K(x,t) при выводе частных необходимых условий экстремума не накладывалось, поэтому и функции r (x-t), и функции h(t) могут быть разрывными или d -функцией и ее производными. Следовательно, на основании теоремы [13] о мощности множества функций действительного переменного можно сделать вывод о том, что множества частных и, тем более, общих необходимых условий экстремума имеют мощность больше мощности континуума.
В связи с тем, что задача (3.1), (3.2) счетного множества решений не имеет, решением в данном случае можно назвать конструктивное описание подмножества 
функций K(x,t), доставляющих экстремум функционалу I, причем мощность множества K больше мощности континуума.
Общая задача
Рассмотрим общую задачу (3.1), (3.2). Будем ее решать как вариационную. Для этого введем однопараметрическое семейство кривых - функций двух переменных K(x,t)=K(x,t) + a d K(x,t), где d K(x,t) - произвольная функция двух переменных, a - малый параметр K(x,t) вместо K(x,t) в операторы (3.2), операторы (3.2) в функционал (3.1), дифференцируя (3.1) по параметру a , получим вариацию d I
Немного больше о технологиях >>>
Опыты Араго и теория Френеля
Современная
наука не отрицает истинности Френелевской формулы частичного увлечения эфира
движущимися телами (средами) – «...и сейчас одного из наиболее важных явлений в
движущихся телах» [1]. В современной теории относительности формула Френеля
рассматривается как частный случа ...
Механика. Античность и эллинский период
Исторический экскурс в прошлое физики, вне
всякого сомнения, позволяет лучше понять логику формирования и развития этой
науки, приведшую к современному ее состоянию. Нам представляется, что понимание
причины возникновения физики, ее изначальных целей, знакомство с этапами ее
ра ...
