Фрактальная размерность стримерных каналов
Формулы Мандельброта и условие самоподобия в форме (2) достаточно взять в виде аксиом фрактального исчисления, тогда чисто логическим путем можно получить практически все известные на последнее время результаты. Мы их применим к "разветвленным структурам", к которым относятся и сети стримерных каналов.
Разветвленные структуры. Для построения разветвленных структур возьмем линию и разрежем ее на множество неравнозначных отрезков. Разбросав эти отрезки по плоскости, мы как раз и получаем пример искомых структур. Проведем в (2) замену обозначений, это аналогично тому, что шестиметровую длину сначала измеряем двухметровым масштабом, укладывая ее три раза. Но можно использовать трехметровый масштаб, прикладывая ее только два раза. Итак, переобозначим l на 1/R, где R считаем линейным размером выделяемой области. Тогда из (2) получаем L = C×d 1-D×R D. Убрав все неопределенные масштабные множители, находим:
L ~ R D. (3)
Применение формулы (3) к определению фрактальной размерности разветвленных структур состоит в следующем. На плановом рисунке стримерных каналов выделяется некоторая область (на рис. 1 это окружность радиусом R), и подсчитывается общая длина всех каналов, попадающих в рассматриваемую область. Так мы получаем первые значения L1 и R1. Далее выделяется другая область (чуть больше первоначальной), и после подсчета получаются другие значения L2 и R2. Таким образом, в итоге мы получаем набор значений L и R, по которым методом линейной регрессии строим прямую на осях Ln L и Ln R. Угловой коэффициент будет равняться фрактальной размерности D. Таким образом было установлено, что для стримерных каналов
D = 1.52 
0.03.
Для улучшения статистики нами выбирались разные формы областей разбиения - от прямоугольных до круглых, а также менялось и само число таких разбиений.
Здесь мы изложили первый из используемых методов измерения фрактальной размерности. Второй метод измерения состоит в подсчете числа N пересечений ветвлениями стримерных каналов периметра области. На рис. 1 границей выделенной области является окружность радиусом R. Легко сосчитать, что для изображенного на рисунке случая N = 53. Варьируя радиус R, находим, что N и R связаны степенным (скейлинговым) законом:
N ~ R n, (4)
с показателем n = 1.012 0.05. Аппарат фрактального исчисления [6] позволяет связать n с размерностью D, именно:
n = 2 (D -1). (5)
Качественно результат можно обосновать следующим образом. Для обычных дифференцируемых линий число N не должно зависеть от R, т.е. при D = 1 должно быть n = 0. Если линия заполняет всю плоскость, т.е. D = 2, то N будет квадратично зависеть от области, т.е. n = 2. Предполагая линейную зависимость между n и D, приходим к результату (5). При строгом подходе необходимо использовать понятие фрактальной производной, в данном случае от степенной функции (3) с нормирующим множителем 1/R 2:
.
А это и есть формула (4) с показателем (5). Теперь находим D = 1 + n / 2 = 1.506 0.005.
Приступим к третьему методу измерения величины D. Метод основан на анализе графика на рис. 2 [2], где представлена зависимость роста границы канальных лучей от
Рис. 2 Зависимость длины дендрита от времени роста. Сплошная кривая - эксперимент, штриховая - моделирование.
времени. Пропорционально со временем увеличивается и число ветвлений, т.е. N ~ t и из (4) следует, что
R ~ t 1/n. (7)
На интервале времен от 1 мин до 6 мин из рис. 2 следует, что R ~ t 0.943, откуда n = 1.06 и D = 1.53.
Обсуждение. Тремя независимыми методами получена фрактальная размерность плоскостной проекции стримерных каналов, представленных на рис. 1. Полученные значения 1.53, 1.52 и 1.52 совпадают с данными работы [2]. Согласованность значений для размерности указывает на работоспособность предложенных выше аксиом фрактального исчисления. Подобной рис. 2 имеется и результат в работе [1], где полечен следующий закон для числа ветвления: N ~ R 1.18. Из него следует, что D = 1.59, т.е. близкая к нашим значениям размерность. Из энергетических соображений Н.А. Поповым [1] приведено D = 2.16, отличие этого значения от 1.59 указывает, что величина D = 2.16 относится только к скейлинговому показателю и еще предстоит задача связать ее с фрактальной размерностью.
Немного больше о технологиях >>>
Об ориентационной поляризации спиновых систем
В
одной из наших предыдущих статей, посвященных термодинамике спиновых систем,
была выявлена несостоятельность попыток свести к теплообмену процессы
установления единой ориентации противоположно направленных ядерных спинов [1].
Несколько позднее было показано, что процессы упор ...
Нанотехнологии в современных системах вооружения
Не
секрет, что применение высоких технологий в современной военной технике
является залогом успешного ведения боевых действий. Благодаря этому повышается
автономность используемой боевой техники, а также ее эффективность. Уже
существуют автономные разведывательные роботы-самоле ...
