Математика бесконечности
Еще раз. Для ясности, k-число так же конкретно и единственно, как и любое другое число. Просто раньше бесконечность являлась той мусорной кучей, куда валили обломки всех функций, разбившихся при делении на нуль.
(Хм . Опять мотив мусорной кучи, в которой и была найдена эта рукопись . Но не в этом дело. Фраза у автора получилась выразительной, но по сути она неправильна, ибо с натяжкой может быть отнесена лишь к потенциальной бесконечности, к актуальной же и вовсе неприменима. Кроме того, в ней подразумевается, что нуль – это предел функции, и бесконечность – функциональная. В тексте же рассматривается числовая бесконечность. Но не будем придираться, как всякая образная фраза, интуитивно она может быть и глубока. – Ю.Л.)
Более того, k-числа – продолжение оси действительных чисел:
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - . - k - 2k - 3k - 4k - 5k - 6k- .
А что такое ∞·k? Может быть, это – k2? В таком случае – опять качественный скачок в направлении возрастания чисел и числовая ось принимает вид:
0 - 1 - 2 - . - k - 2k - 3k - . - k2 - 2k2 - 3k2 - . - k3 - 2k3 - 3k3 - . - kn -
Эти отрезки числовой оси имеют качественные границы k, k2, ., kn. Но они не изолированы друг от друга. Все тот же нуль связывает их. Действительно,
k2·0 = k·k·0 = k·1/0·0 = k,
ибо нуль – число, и его можно сокращать как обычные числа. Отсюда правило: при умножении на нуль в области чисел вида kn происходит переход в область чисел вида kn–1. При делении на нуль, что равносильно умножению на k, происходит переход в область kn+1.
Листок третий
Разбросанным в пыли по магазинам
(Где их никто не брал и не берет!)
Моим стихам, как драгоценным винам,
Настанет свой черед.
М.И. Цветаева, май 1913 г., Коктебель
Увы! Все новое – это хорошо забытое старое. Цитирую из «Оснований алгебры Леонарда Эйлера части первой первыя три отделения, переведенныя с французского языка на Российской, со многими присовокуплениями, Василием Висковатовым, Академии Наук Экстраординарным Академиком». Издано в 1812 г. в Санкт-Петербурге:
«§83
.Поелику дробь 1/∞ показывает частное, происходящее от деления 1 на ∞, и мы знаем также, что когда делимое 1 на частное число 1/∞ или 0, как прежде мы видели, разделится, то выйдет делитель ∞, и из сего получаем мы новое понятие о бесконечности, а именно, что оная происходит от разделения 1 на 0; чего ради по справедливости сказать можно, что 1, разделенная на 0, означает бесконечно великое число, или ∞ .»
Итак, о том, что 1/0 есть именно число, а не предел функции, сказано еще в XVIII в. Эйлером! Однако здорово же пропылилась на книжных полках эта «новость» .
(Может быть, именно эта пропыленность и мешает современным математикам воспринимать ее серьезно? Ведь k-числа не только не вошли в школьные учебники, но и среди преподавателей математики мало кто о них знает. – Ю.Л.)
Но хватит эмоций. Продолжу цитату:
«§84
Здесь надлежит еще опровергнуть довольно обыкновенное заблуждение: многие утверждают, что бесконечно великое количество увеличено уже быть не может; но сие мнение не согласуется с вышеупомянутыми твердыми основаниями. Ибо когда 1/0 бесконечно великое число означает, и 2/0 неоспоримо в два раза больше 1/0, то из сего явствует, что бесконечно великое число сделаться может еще вдвое, или даже в несколько раз больше».
И чему это я так бурно радовался? Мои «прозрения» – это только несколько элементарных утверждений из области чисел, больших бесконечности, о которых еще в XVIII в. говорил Эйлер.
(Да, Эйлер говорил вполне внятно. Но слушали его почему-то впол-уха. – Ю.Л.)
Листок четвертый
Если же существуют математические предметы, то необходимо,
чтобы они либо находились в чувственно воспринимаемом .
либо существовали отдельно от чувственно воспринимаемого .
а если они не существуют ни тем, ни другим образом, то они либо
вообще не существуют, либо существуют иным способом.
Аристотель, Метафизика, кн. 13, гл. 1
Итак, числовая ось включает качественно однородные отрезки, разделенные особыми точками. Назовем их точками связи. Удобно рассматривать математику целых k-чисел. Обобщение может быть получено при умножении целых k-чисел на некое неравное целому a. Рассмотрим отрезки между точками связи. Начнем с отрезка от 1 до k. Далее – от k до k2, еще далее – от k2 до k3. В этой серии отрезков обобщенной числовой оси точками связи являются числа вида kn, где n – целое положительное. Продвигаясь в том же направлении далее, мы встретимся с точками связи нового вида: при n = k точка связи имеет вид kk. Точки связи в первой серии можно назвать точками связи первого рода (символ k входит в них один раз), во второй – точками связи второго рода (символ k входит в них два раза). Например, kk, k2k, kk^2, kk+1 и т.д. Но и они не замыкают последовательность! Возникают точки связи третьего рода: kk^k! А там и четвертого, пятого . Качественное разнообразие числовой оси безгранично. И безгранично велико разнообразие качественно различных бесконечных чисел.
Немного больше о технологиях >>>
Явления, обусловленные движением Земли относительно мирового эфира
Эйнштейн
предполагал, что все попытки обнаружить движение Земли относительно мирового
эфира оказались безуспешными. Безуспешными оказались попытки обнаружить
«эфирный ветер», возникающий при движении Земли относительно мирового эфира
вследствие полного увлечения эфира атмосферо ...
Изобретать по правилам
Задавали ли Вы себе когда-нибудь вопрос:
"Бывают ли нетворческие профессии?" Какие? Фрезеровщик на заводе
приделал несколько линз и зеркал к обычному станку. Теперь он, даже не
поворачивая головы, видит все шкалы, не надо "нырять" к нониусам,
терять время, с ...