Математика бесконечности
(А почему, собственно, нужно тут удивляться? Бесконечность – это элемент некоего непустого множества, и было бы более удивительно, если бы оно вдруг оказалось единичным. – Ю.Л.)
Листок пятый
Рассказали страшное,
Дали точный адрес.
Б. Пастернак. Звезды летом.
Ну, а теперь можно крикнуть «Эврика!». А если n = –2 ? В этом случае:
k–2 = 1/k2 = 1/(1/0)2 = 02!
Это число получено от умножения нуля на нуль. Следовательно, оно на разряд меньше нуля – смотри правило умножения на нуль в «Листке втором». В самом нуле – бесконечно много k-чисел, имеющих отрицательную степень. В тишине нуля скрыто нескончаемое движение Вселенных .
Вглядимся попристальнее в нуль. Сначала мы увидим:
- –1 - 0 - +1 - или - –k0 - k–1 - +k0 -
Глубже:
- –0 - 02 - +0 - или - –k–1 - k–2 - +k–1 -
И наконец, поняв идею сложного строения нуля:
- –0n–1 - 0n - +0n–1 - или - –k–(n–1) – k–n - +k–(n–1) -
Таким образом, нуль безгранично глубок, а граница между плюсом и минусом более непроницаема, чем граница между единицей и бесконечностью, поскольку во втором случае между единицей и бесконечностью одна точка связи первого рода – k, а в первом – неисчислимое множество точек связи как угодно большого рода.
Теперь очень важное замечание. Обычно принимают, что 1 + 0 = 1. В этом есть определенный практический смысл. Если к k-числу высшего разряда прибавить число низшего разряда, то оно «не изменится». В самом деле, что значит Вселенная плюс атом? Без большого греха результат такого сложения можно принять равным Вселенной. Но ведь это не так .
Сумма двух k-чисел, одно из которых принадлежит к низшему разряду, выражает структуру k-числа. Эта сумма и равна одному из слагаемых, и в то же время отлична от него! Это несколько похоже на тонкую структуру линий спектра. Число, этот математический атом, не является «первокирпичиком», оно имеет структуру! Оно содержит в себе противоречие – тождественно и нетождественно самому себе – и, следовательно, способно к какой-то форме движения и развития.
Листок шестой
В самом деле, когда же было иначе, когда это порицалось,
когда запрещалось, когда нельзя было того, что можно?
М.Т. Цицерон. «В защиту Марка Целия Руфа»
Оказывается, k-числа не могут пожаловаться на отсутствие внимания к себе. На одну известную мне работу в этой области – уже цитировавшегося Эйлера – есть по крайней мере две критические заметки. Представляю их в хронологической последовательности с сохранением грамматики:
Первая. Это сноска В. Висковатова в разбиравшейся книге «Оснований алгебры .» под номером 31. В тексте Эйлер выводит формулу ряда:
1/(1 – a) = 1 + a + a2 + a3 + . + an + an+1/(1 – a)
и пишет: «Положим, во-первых, а = 1; наш ряд сделается:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + и так далее бесконечно;
а дробь, которой он должен быть равен, сделается 1/0. Но мы уже заметили выше, что 1/0 есть число бесконечно великое». На что В. Висковатов – переводчик и комментатор – замечает: «Возьмем общее выражение
1/(1 – a) = 1 + a + a2 + a3 + . + an + an+1/(1 – a).
Когда положим а = 1, то выйдет 1/0 = 1 + 1 + 1 + . + 1/0 или 1/0 + n + 1 = 1/0, и когда 1/0 почитать за количество, то выйдет n + 1 = 0, что совсем нелепо .
Когда в выражении 1/0 = n + 1 + 1/0 оба количества умножить на нуль, то выйдет
1 = (n + 1)·0 + 1 или 1 = 1, что весьма справедливо; и так то же самое выражение
1/0 = n + 1 + 1/0 вести может и к нелепому и к истинному заключению; а сие само показывает, что выражение сие само есть нелепое».
Весьма обстоятельно, но . неверно! Ошибка Висковатова заключается в том, что из-за отсутствия четкого понятия k-числа и его разрядов он не понял сущности суммы
n + 1 + 1/0.
В данном случае в правой части стоит сумма k + n + 1, где n + 1 = (n + 1)·k0, т.е. сумма k и k0, каковая может быть записана просто как k (по аналогии с 1 + 0 = 1). Умножая же на нуль обе части, мы переводим их в разряд k-чисел низшего порядка. А здесь аналогичное равенство привычно, а потому и очевидно: 1 + 0 = 1.
(Автор вступился за честь Эйлера. Это невеликий подвиг! Вот если кто-то вступится за Висковатова против Эйлера и автора – это будет мужественным поступком. Конечно, если причина тому не простое упрямство. – Ю.Л.)
Вторая. В «Математических рукописях» Карл Маркс пишет: « .так как 1/0 = 1/(1 – 1), а 1/(1 – 1) = 2·1/2·(1 – 1) = 2/(2 – 2), то опять-таки 2/0 = 1/0. С тем же успехом, как с помощью ряда из единиц вроде
1/0 = 1/(1 – 1) = 1 + 1 + 1 + .
можно представить ∞ посредством бесконечного ряда чисел, растущих в любом заданном отношении. Хотя при этом определенная часть одного бесконечного ряда может быть равна 1/2, 1/3 и т.д. определенной части другого бесконечного ряда, но ни первая, ни вторая определенная часть не находится в какой-нибудь пропорции ко всему бесконечному ряду, и в этом случае можно сказать только, что ряды по-разному шагают в бесконечность» (Курсив К. Маркса.)
Немного больше о технологиях >>>
Подходы к объяснению шаровой молнии
В декабре 1975 года
журнал «Наука и жизнь» обращался к читателям с вопросом о наблюдении шаровых
молний. Среди 1400 писем очевидцев 0,3% из них утверждают, что встретившаяся им
молния имела форму тора [1, стр.103]. Там же высказывается мнение, что в
большинстве случаев шаро ...
Применение световода на уроках физики
Школьник понимает физический опыт только
тогда хорошо, когда он его делает сам. Но еще лучше он понимает его, если сам
делает прибор для эксперимента.
П.Л.Капица
Физический эксперимент... Постановка его на
уроке позволяет учителю не только подробно рассмотреть физические я ...
