Определение размерности Хаусдорфа фракталов с циклически повторяющимися структурами
Классически, в литературе описание фракталов начинается с примера триадной кривой Гельгона фон Коха. Эта кривая строится итеративно. Построение начинается с прямолинейного отрезка единичной длины. На первом шаге исходный отрезок заменяется четырьмя длиной каждый в 1/3 от длины исходного. Далее, операция повторяется с каждым вновь полученным отрезком. Таким образом, получают кривую Коха разной детальности в зависимости от числа итераций
. Когда число итераций устремляется к бесконечности (
) получаем предельную кривую (рис. 1).
Легко видеть, что длина триадной кривой Коха определяется формулой 
и стремится к бесконечности. Соответственно, размерность Хаусдорфа данного фрактального образования определяется соотношением: 
(
- число элементов, 
- относительный размер элементов).
Для построения кривой Коха, используется только одна структура. К сожалению, такие фракталы в природе редко встречаются. Чаще всего, в построении фракталов участвуют несколько структур, состоящих из различного числа элементов. Причем, размеры элементов структур также различны.
Рассмотрим небольшой пример. Пусть элементы кривой (это, конечно, будет уже не кривая Коха) на первой итерации делятся на три элемента, на второй на четыре, в третьем на пять, в четвертом снова на три и так далее изменясь циклически. А правило определяющее размер элементов остается тем же, что и для кривой Коха.
Тогда, в самом начале процесса длина кривой определяется как
; где: 
- число элементов, 
- длина элемента. На первом шаге (n=1) длина кривой и её форма не меняются
, (
,
).
Запишем число элементов кривой и длины элементов для следующих нескольких итераций. Так при:
n=2, , 
n=3, 
, 
n=4, 
, 
n=5, 
, 
n=6, 
, 
и соответственно для:n, 
,
.
Итак, длина кривой будет равна
. Выражая n через длину элемента (
) и применяя прямую и обратную операции логарифмирования имеем:
.
Рис.2. Влияние на размерность Хаусдорфа числа структур с различным
количеством элементов (l = 1/10). В точке n = 1 k = 11.
Откуда фрактальная размерность
. По сравнению с кривой Коха у вновь полученной кривой размерность Хаусдорфа меньше, но длина ее все еще не конечна. Обобщая полученный результат, на произвольное число структур, формула для определения размерность Хаусдорфа при циклическом структуроформирующем правиле примет вид:
,
Немного больше о технологиях >>>
Система качественных показателей для оценки достижения идеальности ТС
Общая структура Технической Системы:
ЗАТРАТЫ (вход) - ТС (процессор) - ГПФ
(выход)
Идеал ТС: Достижение ГПФ при сумме затрат
стремящейся к нулю.
...
О возможном способе возникновения сил природы и их связи между собой
В
1687г. Исаак Ньютон объяснил движение небесных тел и многих земных явлений
наличием притяжения всех тел друг к другу. С тех пор многие пытаются объяснить,
каким образом два тела могут на расстоянии взаимодействовать друг с другом [1].
Примерно через 100лет эксперименты с эле ...
