Континуально многозначные функции
В последнее время негладкие, разрывные и сингулярные функции стали привлекать внимание [3-5]. Построен пример непрерывно дифференцируемой разрывной функции на пространстве D - бесконечно дифференцируемых финитных функций [4]. При решении вариационных задач экстремалями иногда оказываются негладкие, т.н. разрывные или сингулярные функции [3, 5]. Однако понятие разрывности функций в точках разрыва) не всегда соответствует физическим и математическим объектам - непрерывным кривым, которые они фактически описывают.
Рассмотрим кривую - прямоугольный импульс (рис. 1), определенный и непрерывный на всей оси абсцисс. Подобные объекты можно представить не только математически: например, так можно представить разложенную на плоской поверхности веревку. Но если про прямую b мы говорим, что она существует, и пишем 
при
, то про точки x=0 и x=1 говорится, что в них функция терпит разрыв первого рода, а прямых a и c как бы нет, хотя веревка физических разрывов не имеет.
Рис.1. Непрерывная кривая - прямоугольный импульс
По-видимому, объясняется это тем, что рассмотрения многозначных функций традиционно стараются избегать. В нашем же случае точкам x=0 и x=1 соответствуют замкнутые отрезки [0,1], параллельные оси ординат, т.е. одной точке на оси абсцисс соответствует множество точек на оси ординат, имеющее мощность континуума. Получается не просто многозначность, а многозначность мощности континуума.
Рассмотрим характерный пример - первую введенную в физике разрывную функцию - функцию Хевисайда, которая определяется [6-8] как предел последовательностей непрерывных функций, имеющих все производные. Поэтому график предельной функции вроде бы должен быть непрерывным. Этому противоречит определение функции Хевисайда, данное, например, в монографиях [6-8],
(1.1)
Введем уточненное определение функции включения, соответствующее предельному переходу в эквивалентных последовательностях [6] непрерывных функций, имеющее непрерывный график,
(1.2)
Если функцию включения (1.2) можно представить в виде непрерывной веревки, разложенной на плоской поверхности, то функция Хевисайда представляется той же веревкой, из которой вырезан кусок (сегмент [0,1]) в точке x=0. Обе функции имеют равные односторонние пределы, но разные графики при x=0 и вытекающие из этого свойства.
На первый взгляд, определение (1.2) непривычное, но фактически оно не новое. Когда говорят о значении определенного интеграла от положительной подынтегральной функции, то имеют в виду, что он "равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком подынтегральной функции, осью абсцисс и прямыми, параллельными оси ординат, построенными на концах отрезка интегрирования" [8].
Поскольку определенный интеграл в конечных пределах от a до b всегда можно выразить с помощью сдвинутых функций включения H(x) через интеграл с бесконечными пределами
(1.3)
Немного больше о технологиях >>>
Применение световода на уроках физики
Школьник понимает физический опыт только
тогда хорошо, когда он его делает сам. Но еще лучше он понимает его, если сам
делает прибор для эксперимента.
П.Л.Капица
Физический эксперимент... Постановка его на
уроке позволяет учителю не только подробно рассмотреть физические я ...
Почему “организм” этики отторгает эмбриональные стволовые клетки
В первые годы начавшегося века в центре
внимания научной, медицинской и просто широкой общественности, безусловно,
находится все, что связанно с возможностями лечения стволовыми клетками (СК).
Во многих публикациях помимо раскрытия
медицинских аспектов новых технологий, котор ...
