Континуально многозначные функции
то функции включения (1.2) как раз и описывают "прямые, параллельные оси ординат", чего не скажешь о функции Хевисайда (1.1).
Замечание. Из формулы (1.3) следует, что все интегрируемые функции фактически определены на всей оси абсцисс, что позволяет, обладая методикой решения разрывных экстремальных задач, например, приведенной в монографии [5], легко решать их, когда экстремум не внутренний, а достигается на границе замкнутого отрезка [a,b].
Используя определение функции включения (1.2), функцию, изображенную на рис.1, - прямоугольный импульс - можно записать:
Предложенное непротиворечивое определение непрерывной функции включения позволяет адекватно описывать непрерывные кривые в точках математической разрывности. Сам термин "разрывная функция" выбран несколько неудачно. Фактически мы имеем дело с непрерывными функциями, обладающими многозначностью мощности континуума. Действительно разрывными являются функции типа функции Хевисайда (1.1), но фактически, когда говорится о "разрывных функциях", в большинстве случаев имеются в виду функции вида (1.2).
Интересно отметить, что популярные пакеты компьютерных программ для решения прикладных задач и построения графиков EUREKA и MATHEMATICS дают графическое изображение функции включения, записанной как H(x)=(1+sgn(x))/2, именно в виде формулы (1.2). В монографии [5] в графиках также используется непрерывная функция включения (1.2), хотя это определение и не приводится.
Наглядное представление d -функции в виде обычной функции в математической литературе отрицается, поэтому при решении экстремальных негладких и разрывных задач понятие d -функции не используется [3, 5]. Для аналитического решения экстремальных задач требуется уточнение определения в d -функции.
Для уточнения определения введенной Дираком сингулярной функции - d -функции введем d -образную эквивалентную последовательность [6, 9] через функции включения (1.2)
(1.4)
При любом значении a существует интеграл
и предел формулы (1.4) при a- 0 является d -функцией, т.е.
(1.5)
Так определенная (1.4)-(1.5) d -функция является пределом непрерывного графика прямоугольного импульса высотой 1/2a и шириной 2a. При a- 0 высота "стенок" прямоугольного импульса неограниченно возрастает, а ширина импульса стремится к 0. В пределе "стенки" "слипаются" в один луч - d -функцию, расположенную в начале координат.
При прохождении функции в d a(x) по направлению кривой от 
к 
"стенки" прямоугольного импульса проходят в противоположных направлениях, поэтому d -функция (состоящая из двух "слипшихся" "стенок") одновременно направлена в противоположных направлениях. (Одну кривую, которую проходят в разных направлениях, считают различными кривыми [8]).
Определенная выше d -функция имеет наглядное представление в виде луча - положительной полуоси ординат. Имея бесконечную высоту и нулевую ширину, d -функция ограничивает единичную площадь (неопределенность типа
) и обладает двойной направленностью.
Немного больше о технологиях >>>
Что такое синергетика
- Итак, вы
хотите знать, каков простой и ясный ответ на Великий Вопрос Жизни,Вселенной и
всего остального? вопросил Проницательный Интеллектоматик.
-Да!
Немедленно!-воскликнули инженеры.
-Сорок два,с
беспредельным спокойствием сообщил компьютер.
(Дуглас
Адаме, Руко ...
Суперкомпьютеры, доступные всем
Два
раза в год – в июне и ноябре – университеты Мангейма и штата Теннеси вместе с
Национальным научно-исследовательским вычислительным центром при Министерстве
энергетики США публикуют список пятисот самых высокопроизводительных
суперкомпьютеров – Top500, куда включают сведения ...
