Электростатическое взаимодействие точечных зарядов
∫V(1/2)φρdV = (1/2)[φ1(1)Q1 + φ2(2)Q2 + φ2(1)Q1 + φ1(2)Q2]. (10)
Легко показать (используя (2) и правую часть (10), и положив R1 = R2 = R0), что сумма третьего и четвёртого членов в (10) принимает форму закона Кулона, и в точности равна U.
(1/2)[φ2(1)Q1 + φ1(2)Q2] = (1/8πε0R0)(Q2Q1 + Q1Q2) = Q1Q2/4πε0R0 = U. (11)
Рассмотрим далее интеграл в левой части выражения (6), представляющий альтернативную по отношению к (10) форму для вычисления энергии системы зарядов. Обращаясь к формуле (3), где расписано E2, видим, что W(X, Y) состоит из трёх частей:
W1 = (ε0/2)E12; W2 = (ε0/2)E22; (12)
W3 = (ε0/2)∙2E1E2∙cosα. (13)
Члены W1 и W2 описывают неизменные при любых обстоятельствах плотности энергии собственных полей зарядов. Объёмные интегралы от них можно сравнить с членами φ1(1)Q1/2 и φ2(2)Q2/2 в формуле (10),
∫V W1dV = φ1(1)Q1/2, ∫V W2dV = φ2(2)Q2/2, (14)
и исключить из обоих выражений, (3) и (10). Эта операция позволяет также частично избавиться от проблем, связанных с характеристиками поля на небольших расстояниях от точечных зарядов, и с трудностями учёта собственных полей зарядов в теории [1, 5, 10]. Таким образом, взаимодействие зарядов определяется только членом W3, зависящим от силовых характеристик обоих зарядов одновремённо. Аналогом объёмного интеграла от W3 «на языке зарядов» является выражение (11). Сравнивая интеграл от W3 с интегралом (11),
∫V W3dV = (1/2)∫V [φ1(2)Q2δ(2) + φ2(1)Q1δ(1)]dV, (15)
можно ожидать, что вычисление интеграла в левой части (15), также приведёт к энергии U, но распределение объёмной плотности энергии в пространстве (формула (13)), вполне очевидно, не будет совпадать с представленным в правой части (15).
Рассмотрим подробнее распределение энергии W3 в пространстве. Косинус угла α, показанный на рис. 1, играет определённую роль: cosα < 0, если α > 900 (имеет место внутри окружности, вписанной между зарядами с центром в середине отрезка R0), и cosα > 0 во всём остальном пространстве. Поэтому окружность cosα = 0 (в трёхмерном пространстве – сферическая поверхность) является важной границей, она отделяет конструктивную интерференцию от деструктивной. Пространство внутри этой сферы будем называть центральной зоной взаимодействия.
Задача упрощается без ущерба содержанию, если положить
Q1 = Q2 = q; (R1/R0) = r1; (R2/R0) = r2; (X/R0) = x; (Y/R0) = y. (16)
В этом случае единицей измерения координаты становится расстояние между зарядами – отрезок R0.
Формула (15) с использованием (3) и (16) принимает вид:
∫VW3dV = (q2/32π2ε0R04)∫V[(r12 + r22 – 1)/r13r23]dV. (17)
Обозначим подынтегральную функцию в правой части (17) символом w3 (она представляет собой относительное распределение объёмной плотности энергии в пространстве):
w3 = (r12 + r22 – 1)/r13r23 = 2(x2 – x + y2)/{y4 + y2[x2 + (1 – x)2] + x2(1 – x)2}3/2. (18)
Форма распределения w3 в зависимости от x и y одинакова не только для равных, но и для разных по величине и знаку зарядов. Проведём с w3 ряд дальнейших вычислений. Константа, вынесенная за знак интеграла в формуле (17),
А = q2/32π2ε0R04, (19)
будет учтена в конце работы.
Подстановки (16) с образованием относительных распределений типа (18) применим также к W1 и W2 (формулы (12)); получим, соответственно, w1 и w2:
w1 = r1–4 = 1/(x2 + y2)2; w2 = r2–4 = 1/[(1 – x)2 + y2]2. (20)
Найдём соотношение
w = (w1 + w2 + w3)/(w1 + w2) = 1+ w3/(w1 + w2) = 1 + r1r2(r12 + r22 – 1)/(r14 + r24), (21)
которое представляет собой некоторую поверхность. Участок этой поверхности внутри и вблизи центральной зоны взаимодействия показан на рис. 2 в пределах изменения x от –1 до 1, и y от –2 до 2.
Рис. 2. Отношение w объёмной плотности энергии в системе двух одноимённых взаимодействующих зарядов к сумме энергий невзаимодействующих зарядов
Заряды расположены в точках с координатами (0, 0) и (1, 0). Если бы энергия w3 отсутствовала, то рассматриваемое отношение имело вид плоскости w = 1 (см. формулу (21)).
Как видно из рис. 2 и формулы (21), значение w равно нулю в центре отрезка R0 (x = 0,5; y = 0); w = 1 на окружности, вписанной между зарядами; w = 2, максимально достижимое значение при x, y → ∞. Взаимодействие зарядов существенно дополняет сумму их собственных энергий и положительными, и отрицательными вкладами; при отталкивании зарядов энергия поля как бы «уходит» из центральной зоны наружу. Однако,
Немного больше о технологиях >>>
Опыты Араго и теория Френеля
Современная
наука не отрицает истинности Френелевской формулы частичного увлечения эфира
движущимися телами (средами) – «...и сейчас одного из наиболее важных явлений в
движущихся телах» [1]. В современной теории относительности формула Френеля
рассматривается как частный случа ...
Антенна излучающая
К одной из важнейшей научно-технической
проблеме современности можно отнести освоение водного пространства.
Освоение океана повлекло множество
технических проблем. Одной из них являлась невозможность заглянуть в глубины
океана, узнать особенности дна, наличие и особенности ...
