Апология Бесконечности
Исследование бесконечности никогда не закончится. познание бесконечности не есть процесс непрерывного накопления знаний о ней, это, скорее, поэтапный прерывно-исторический процесс. На каждом этапе ее познания раскрываются все новые и новые ее стороны. Бесконечность является фундаментальной гносеологической и онтологической константой. Первым знанием о ней был апейрон Анаксимандра (VI в. до н.э.), означавший бесконечное сущее. Представитель позднего пифагореизма Архит Тарентский (IV в. до н.э.) так доказывал бесконечность мироздания: "Поместившись на самом крае Вселенной . был бы я в состоянии протянуть свою руку или палку дальше за пределы этого края или нет?" [1, с. 240]. Аристотель, как известно, отрицал актуальную бесконечность. Он и ввел понятия актуальной и потенциальной бесконечности. Правда, логически не совсем ясно – как можно говорить о потенциальной бесконечности при отсутствии бесконечности как таковой, то есть актуальной бесконечности. Затем христианство посчитало, что оно решило проблему бесконечности, придав ее в качестве неотъемлемого атрибута Богу. потом математика в лице дифференциального и интегрального исчисления взяла бесконечность на свое вооружение. Поскольку бесконечность не имела строгого и четкого определения, то в математике начали появляться связанные с ней противоречия. Так, например, бесконечные ряды в математике разделили на сходящиеся и расходящиеся, было также узаконено положение о том, что линии состоят из точек, плоскости – из прямых и т.д. До Георга Кантора ничего принципиально нового в понимании бесконечности не было. Заслугой Кантора как раз и является открытие им бесконечной иерархии алефов (алефы – это бесконечные кардинальные числа, или мощности бесконечных множеств). Им была создана теория бесконечных множеств. Вполне закономерным было то, что в ней начали обнаруживаться противоречия. Наиболее известными из них являются парадоксы Рассела. О парадоксах и противоречиях существует достаточно обширная литература. Их исследованию посвящены, например, работы [2], [3], [4], [5]. Однако противоречия и парадоксы в них не разрешаются, а обсуждаются. Правда, Бурова в [4] справедливо подчеркивает, что прямая не состоит из точек, плоскость не состоит из прямых, а то, что в математике считается, что прямая состоит из точек, является заблуждением. Одним словом, противоречия и парадоксы в теории бесконечных множеств сохраняются и поныне. За не менее чем столетнее существование теории (а точнее – теорий) бесконечных множеств в понимании бесконечности мало что изменилось. Даже появление нестандартного анализа (см. о нем в [6]) не внесло полной ясности в понимание бесконечности. Но несмотря на противоречия, математика не собирается отказываться от "канторовского рая", то есть от теории бесконечных множеств (о бесконечном и проблемах бесконечности в доступном изложении см. книжки: "В поисках бесконечности", "Рассказы о множествах" – автор Н.Я. Виленкин; "Неисчерпаемость бесконечности" – автор Ф.Ю. Зигель; "Игра с бесконечностью" – автор венгерская математик Р. Петер).
В последнее время появились публикации, направленные на ниспровержение теории бесконечных множеств и негативно оценивающие самого Г. Кантора и его учение. Эти антиканторовские выступления не беспочвенны и носят весьма решительный и бескомпромиссный характер. Мы здесь покажем несостоятельность подобной антиканторовской тенденции.
Речь идет о публикациях и выступлениях А.А. Зенкина [7], [8], [9]. Вот как он оценивает свой результат [8, с. 167]: "Таким образом, впервые доказано великое интуитивное провидение (и предостережение!) Аристотеля, Лейбница, Локка, Декарта, Спинозы, Канта, Гаусса, Коши, Кронекера, Эрмита, Пуанкаре, Брауэра, Витгенштейна, Вейля, Лузина и многих других выдающихся математиков и философов о том, что "актуальная бесконечность" является внутренне противоречивым понятием и потому его использование в математике - недопустимо". Учение же Кантора объявляется вредным (там же): «именно теорема II Кантора всегда была и остается сегодня единственным(!) основанием для, поистине, вавилонского столпотворения несчетных ординалов и недостижимых кардиналов современной метаматематики: уберите теорему II Кантора, и весь этот блистательный супертрансфинитный "вавилон" рассыпется единовременно, поскольку самый разговор о существовании бесконечных множеств, различающихся по своей мощности, будет в этом случае выглядеть всего лишь "трансфинитной претензией на пустое глубокомыслие"» и "любопытным патологическим казусом в истории математики, от которого грядущие поколения придут в ужас". подобных мест с негативной оценкой Кантора и его учения в этих статьях весьма достаточно.
На чем основывается такая отрицательная оценка теории бесконечных множеств? Основывается она на невозможности доказать диагональным методом, да и всеми другими методами, существование бесконечных множеств, мощность которых строго больше мощности начального бесконечного множества, или коротко – отношение "2M>M" для бесконечного множества M. Сущность этой невозможности заключается в следующем. По предполагаемому пересчету нового множества 2M строят новый, "диагональный", элемент, который никаким образом не может содержаться в предполагаемом пересчете. Кантор и все его последователи (в их числе и наши известные математики П.С. Александров, А.А. Мальцев) из этого заключают, что новое множество нельзя пересчитать с помощью исходного множества M, которым, например, может быть множество натуральных чисел. Однако вся известная теория бесконечных множеств основывается на аксиоме бесконечности Дедекинда: "множество является бесконечным, если и только если оно имеет собственное подмножество, в которое взаимно однозначно отображается данное множество" [10, Т.1, с. 455]. поэтому, добавляя к любому бесконечному множеству один новый элемент, мы ничего не меняем – мощность данного множества не изменится. Следовательно, диагональный метод не должен заканчиваться обнаружением элемента, не входящего в предполагаемый пересчет множества 2M, а должен быть продолжен включением "диагонального" элемента в предполагаемый пересчет и соответственно получением нового предполагаемого пересчета, который уже будет содержать и этот "диагональный" элемент. Но затем может быть получен следующий "диагональный" элемент и эта процедура может продолжаться бесконечно, что и означает невозможность доказать несчетность множества 2M. Это, в свою очередь, означает не что иное, как невозможность построения канторовской иерархии алефов, из чего Зенкин и заключает о несостоятельности бесконечности и канторовской теории множеств.
Немного больше о технологиях >>>
Биотехнология России с точки зрения теории эволюции
Четырнадцатый том озаглавлен так: «Может ли разумный человек, учитывая опыт прошедших
веков, питать хоть малейшую надежду на светлое будущее человечества?»
Прочесть четырнадцатый том недолго. Он состоит всего из одного слова и точки: «Нет.»
К. Воннегут
В Новый год принято ...
Вода - энергоноситель, способный заменить нефть.
Нефть, уголь и природный газ являются
основными энергоносителями, заменитель которым еще не найден. Все они являются
продуктами Солнца, за миллионы лет накопившиеся на Земле. Сжигание этих
энергоносителей с целью получения энергии является основным фактором
загрязнения окружающ ...
