Апология Бесконечности
Интересно, конечно, задаться вопросом: как и почему крупные математики доказывали и передоказывали теорему Кантора и не замечали противоречия между определением бесконечного множества и диагональным методом? Нам кажется, чтопри ее доказательстве, в силу грандиозности последствий теоремы "2M>M", на время или "забывали" о принципе "часть может быть равна целому", или подсознательно подчинялись принципу "часть не может быть равна целому" и потому останавливались на том самом месте диагонального метода, где надо было проверить возможность добавления нового элемента к проверяемому множеству и повторного построения другого нового элемента и т.д. скорее всего, этим и можно объяснить ситуацию с диагональным методом. Здесь уместно вспомнить Б. Рассела и спросить: почему Рассел вместо того, чтобы разобраться в сущности оснований теории множеств и их противоречий, выставлял на передний план следствия из обнаруженных им парадоксов? Почему? Нам кажется потому, что критиковать и разрушать всегда легче, чем созидать, что деконструировать, ломать легче, чем конструировать. Аналогичным образом обстоят дела и в случае последних антиканторовских выступлений А.А. Зенкина.
В его статье [9] на основе ошибочных умозаключений также дискредитируется канторовская теория множеств. На наш взгляд, в ней имеет место самое простое смешение конечного с бесконечным [9 с.80-81]. Действительно, там рассматриваются две знаковые конструкции (5) и (6). Знаковая конструкция (5) – это соответствующая запись натурального ряда:
1, 2, 3, ., w, w+1, w+2, w+3, .,
где символ w есть произвольное конечное натуральное число. Соответственно многоточие между натуральным числом 3 и натуральным числом w означает, что на его месте находится w-4 натуральных чисел, то есть вполне определенное конечное количество w-4 натуральных чисел. Знаковая конструкция (6) – это, как говорит автор, "знаменитый канторовский ряд трансфинитных чисел":
1, 2, 3, ., ω, ω+1, ω+2, ω+3, ., ω×2, ω×2+1, ω×2+2, ω×2+3, .
(На самом деле это не ряд трансфинитных чисел, а бесконечный ряд порядковых чисел. порядковые же числа включают в себя и конечные порядковые числа, и бесконечные, то есть трансфинитные, числа.) Здесь символ ω означает наименьшее трансфинитное число. Соответственно многоточия между числами 3 и ω, с одной стороны, и между числами ω+3 и ω×2, с другой стороны, говорят о том, что на месте первого многоточия находится бесконечное количество конечных натуральных чисел 4, 5, ., а на месте второго многоточия находится такое же бесконечное количество трансфинитных чисел ω+4,ω+5,ω+6, . сравнивая чисто визуально конструкции (5) и (6), автор делает следующий вывод (там же с.81): "таким образом мы фактически построили (доказали построением) 1–1-соответствие между множеством трансфинитных целых (порядковых) чисел Кантора (6) и множеством всех конечных натуральных чисел с сохранением порядка". Как можно установить (1–1)-соответствие, то есть взаимно однозначное соответствие, между множеством конечных чисел (конструкция (5)) и множеством порядковых чисел, включающих в себя конечные порядковые числа и трансфинитные числа (конструкция (6)), неизвестно никому. Поэтому правильно об этом сказано в комментарии к данной статье. А установить это соответствие невозможно потому, что трансфинитные числа конструкции (6) – это порядковые типы счетных вполне упорядоченных множеств, которые составляют несчетное множество [12, с. 69-70]. Автор же вопреки этому утверждает на с.81, что "Хорошо известно, что канторовский ряд (6) . является счетным множеством", чего на самом деле нет [12, с. 69-70]. А все дело в том, что автор всеми силами пытается ниспровергнуть бесконечность и потому отождествляет конечное с бесконечным посредством надуманного им (1–1)-соответствия между конструкциями (5) и (6). Причем, автор неточен и в том, что конструкцию (6) называет "множеством трансфинитных чисел", хотя в нее входят и конечные числа (они что – тоже трансфинитные числа?!). Надо сказать больше. На с.93 в ответе автора на упомянутый комментарий снова утверждается, что конструкция (6) является счетной. Но это неверно! Конструкция (6), как минимум, имеет мощность стандартного континуума ω1=2ω, о чем говорят и П.С. Александров [12, с. 69 и теорема 18 на с. 70], и Ю.И. Манин [13, с. 105]. Это – первое. Во-вторых, автор настойчиво утверждает [9, с. 81, 93] об изоморфизме конструкций (5) и (6) с сохранением естественного порядка натурального ряда. Но этого тоже не может быть, поскольку в конструкции (5) любое натуральное число n (кроме первого) имеет предшественника n-1, а в конструкции (6) имеется бесконечно много порядковых чисел (так называемых предельных) ω,ω×2,ω×3, ., которые не имеют предшественников (см., например, у Ю.И. Манина [13, с. 104] или в математической энциклопедии [10, Т.4, статья "Порядковое число"]), вследствие чего в конструкции (6) перед предельными трансфинитами ω, ω×2, ω×3, . есть как бы "дырки", или "черные дыры", в которых содержатся мириады счетно бесконечных множеств, а в конструкции (5) таковых нет и поэтому между конструкциями (5) и (6) никак не может быть изоморфизма, тем более, с сохранением естественного порядка натурального ряда.
Немного больше о технологиях >>>
Замысел Бога в Его Творениях
На рубеже 16-17 веков, когда наука в
совpеменном смысле слова еще только заpождалась, большинство ученых были
глубоко веpующими христианами. Они считали, что их исследования пpиpоды
позволяют лучше увидеть и понять мудpость и благость Господа, пpоявляемые в Его
созданиях.
Од ...
Исторический анализ технических систем в прогнозном проекте
Приступая к прогнозному проекту обычно
изучаешь опыт предшественников, обращаешься к корифеям. На наш взгляд, наиболее
ценные советы можно получить в работе С. С. Литвина и В. М. Герасимова,
посвященной дальнему прогнозированию [1]. Но, когда переходишь к практическим
действиям ...
